Олонлогийн тухай ойлголт

Олонлог ба түүн дээрх үйлдлүүд

 

XIX зууны сүүл, XX зууны эхээр математикийн бүхий л хуучин ойлголт, ухагдахууныг дахин авч үзэж, судалсны үр дүнд математикийн шинэ салбар болох олонлогийн онол бий болсон. Түүний үүсгэн байгуулагчийн нэг нь Германы математикч Георг Кантор юм. Богино хугацаанд олонлогийн онол бүх математикийн суурь болтлоо хөгжсөн. Одоо бид олонлогийн онолын зарим үндсэн ойлголтуудтай танилцана. Тэдгээр мэдлэг нь бага боловсролын багшид их хэрэгтэй. Үүнд:

1.    Бага боловсролын математикийн агуулгыг олонлогийн онолыг ил, далд хэрэглэгээнээс үл хамааран ухаарч ойлгох,

2.    Харилцан нэг утгатай харгалзаа, харьцаа, тоо, геометрийн дүрсүүд гэх мэтийн ухагдахуунуудыг эзэмших.

Олонлог ба түүний элементүүд

Математикт нэгэн ижил зүйлүүдийг, эсвэл ялгаатай юмсыг нэг бүхэл болгон байнга судалдаг.  Тухайлбал, натурал тоо, гурвалжин, квадрат, гэх мэт. Эдгээр бүх ялгаатай бөөгнөрөлийг олонлог гэдэг.

Олонлогийн ухагдахуун бол математикийн үндсэн ухагдахуунуудын нэг учраас тодорхойлдоггүй. Тухайлбал: Монгол хүмүүс, Монгол орны гол мөрөн, нэг гэр бүл, натурал тоонууд, бүх гурвалжинуудын олонлог гэх мэтийг нэрлэж болно.

Латин цагаан толгойн том үсгээр олонлогийг тэмдэглэнэ. Энд: А, В, С, ..., Z.

Нэг ч элемент агуулаагүй олонлогийг хоосон олонлог гэж нэрлээд ... гэж тэмдэглэнэ.

Олонлогийг бүрдүүлж байгаа объектыг түүний элементүүд гэж нэрлээд, латин цагаан толгойн жижиг үсгээр тэмдэглэнэ. Энд: а,b,c, …. Z.

Жишээ: 5 натурал тоо, 0,75 натурал тоо биш гэж ярьдаг.

Ө.х 5  гэсэн тоо натурал тоон олонлогт харьяалагдаж байгаагаар, 0,75 гэсэн тоо түүнд харьяалагдахгүй байгаагаар тэдгээрийн үнэнийг баталж байга хэрэг. Эдгээр өгүүлбэрийг тэмдэглэхийн тулд тэмдэглэгээг оруулсан.

а объект А олонлогт харьяалагдана гэдгийг а € А гэж тэмдэглэнэ. Харин а объект А олонлогт харьяалагдахгүй гэдгийг а ₡ А гэж бичнэ.

Олонлог  төгсгөлөг, эсвэл төгсгөлгүй байна. Эдгээр ойлголтыг тодорхойлолтгүйгээр хэрэглэнэ.

Тэдгээрийг жишээгээр тайлбарлая: Долоо хоногийн өдрийн олонлог, жилийн сарын олонлог төгсгөлөг олонлог ба харин шулууны цэгүүдийн олонлог, натурал тооны олонлог төгсгөлгүй юм.

Математикт тоон олонлогуудыг:

 N-натурал тоон олонлог

Z- бүхэл тоон олонлог

Q- рационал тоон олонлог

R- бодит тоон олонлог гэж тус тус тэмдэглэнэ.

 

Олонлогийг өгөх аргууд

Олонлогийн элемент бүрийн хувьд биелдэг, түүнд харьяалагдахгүй нэг ч элементийн хувьд биелдэггүй чанарыг олонлогийн элементийг тодорхойлох шинж чанар гэнэ.

Жишээ: Хоёр оронтой тооны олонлог А байг. Энэ олонлогийн элемент бүр Хоёр оронтой байх гэсэн чанартай. Энэ чанар нь ямар нэгэн обьект А олонлогт харьяалагдах, эсэхийг тодорхойлох боломжийг олгож байна. Тэгэхээр 45 гэсэн тоо хоёр оронтой тоо учир А олонлогт харьяалагдаа. 145 гэсэн тоо хоёр оронтой биш учир а олонлогт харьяалагдахгүй.

Жишээ бодлогууд: 65-аас их, 75 – аас бага натурал тоонуудыг бич.

Бодолт: Энэ олонлогийн тоонууд 65-иас их 75-иас бага байх гэсэн шинж чанараар өгөгджээ. Түүний элементүүдийг тоочин бичвэл: {66,67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74}.

Хоёрдугаар бодлого:  A={12,22,32,42,52,62,72, 82, 92} олонлогийн элементүүдийн тодорхойлох шинж чанараар илэрхийл.

Бодолт: А олонлогийн бүх элементийг тоочин бичжээ. Тэдгээрийн тодорхойлох шинж чанар нь: 2 гэсэн цифрээр төгссөн, хоёр оронтой тоо байх.

Олонлог хоорондын харилцаа

Тодорхойлолт: Хэрэв В олонлогийн бүх элемент А олонлогийн элемент болж байвал В-г А олонлогийн дэд олонлог гэнэ. Хоосон олонлогийг дурын олонлогийн дэд олонлог гэж үзнэ. Дурын олонлог өөрийнхөө дэд олонлог болно.

Тодорхойлолт: А...В ба В...А бол А,В олонлогуудыг тэнцүү олонлогууд гээд А=В гэж тэмдэглэнэ.

Олонлогуудын огтлолцол

Хоёр болон түүнээс олон олонлогийн элементүүдээс шинэ олонлогийг үүсгэж болно.

А={2,4,6,8}, B={5,6,7,8,9}, олонлогууд өгөгдсөн байг. А ба В олонлогийн ерөнхий элементүүдээр С олонлог үүсгэе. Тэгвэл С= {6,8} болно. Энэ гарган авсан С олонгийг А ба В олонлогийн огтлолцол гэнэ.

Тодорхойлолт : А олонлогт ч, В олонлогт ч харьяалагдах элементүүдээс тогтсон олонлогийг А ба В олонлогийн огтлолцол гэнэ.

Жишээ нь: 24 гэсэн тоо тэгш, хоёр оронтой учир 24 харьяалагдах АогтлолВ байна.

Одоо А олонлог түүний дэд олонлог В хоёрын огтлолцлыг олбол А огтлол В=В учир А огтлол В олонлогийн элементийн шинж чанар нь В олонлогийн элементийн шинж чанар байна.

Олонлогуудын нэгдэл

А= { 2, 4, 6,8 }  ба  B= { 5,6,7,8,9} олонлогууд өгөгдсөн байг. А,В олонлогийн ядаж нэгэнд нь харьяалагдах элементүүдээс D олонлогийг үүсгэе. Ө.х А олонлогийн, эсвэл В олонлогийн элемент байх. Тэгвэл D={2, 4, 6, 8, 5, ,6 ,7,9 } Ингэж гарган авсан D олонлогийг А ба В олонлогуудын нэгдэл гэнэ.

Тодорхойлолт: Зөвхөн А, эсвэл В олонлогт харьяалагдах элементүүдээс бүрдэх олонлогийг А ба В олонлогийн нэгдэл гэнэ.

Олонлогуудын ялгавар, гүйцээлт

Тодорхойлолт: А олонлогт харьяалагддаг боловч, В олонлогт харьяалагддаггүй элементүүдээс зөвхөн бүрдэх олонлогийг А ба В олонлогуудын ялгавар гэнэ.
 А ба В олонлогийн ялгаварыг A\В гэж тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолт: В харьяалагдах А байг. А-д харьяалагддаг ба В-д харьяалагддаггүй элементүүдээс зөвхөн бүрдэх олонлогийг В олонлогийн А олонлог хүртэлх гүйцээлт гэнэ.

Олонлогийг ангиудад хуваах нь

Тодорхойлолт: Олонлогийн ямар ч хуваалт нь тухайн олонлогийн элементүүдийг дэд олонлогуудад хуваах замаар үүсэж буй болно. Энэ үед дараах нөхцлийг хангаж байвал Х олонлогийг Х₁, Х_2,...Х_n ангиудад хуваасан хуваалт гэнэ. Үүнд:
                   1. X₁, X₂,…X_n дэд олонлогууд хоорондоо үл огтлолцоно.

3.    X_1,X_2,…X_n  дэд олонлогуудын нэгдэл Х олонлог байна.